Математичні софізми

Великий інтерес в учнів викликають, так звані, математичні софізми, тобто на перший погляд абсуртні твердження, але наскільки грамотно доведені, що відразу помилку і не знайдеш.Математичні софізми можна застосовувати на уроках (тільки б час був), на заняттях гуртка або факультативу.Спробуйте знайти помилку!

Софізм "4 = 5"
  Нехай а=в+с. Помножимо обидві частини на 5: 
5а=5в+5с. 
Додавши почленно цю рівність до рівності 4в+4с=4а і віднявши від обох частин утвореної рівності по 9а, матимемо:
   4в+4с-4а=5в+5с-5а, або
   4(в+с-а)=5(в+с-а).
   Звідки 4=5.

Софізм "Сума будь-яких двох однакових чисел дорівнює нулю"

 Доведемо, що а+а=0. Нехай а=х. Помноживши обидві частини на -4а, 

дістанемо -4ах=-4а², 

або -4ах+4а²=0. 

Додамо до обох частин рівності х², тоді х²-4ах+4а²=х², або (х-2а)²=х², звідки х-2а=х. 

Але оскільки х=а, то а-2а=а, тобто -а=а. Остаточно: а+а=0.

Софізм "Хитрий менеджер"

   Три дівчинки накопичили трохи грошей і вирішили придбати на трьох одну книжку, яка коштує 30 грн. Дівчатка скинулися по 10 грн і купили товар. Трохи згодом менеджер магазина довідався, що книжка коштує 25 грн і забрав із каси 5 грн. Менеджер мав віддати гроші дівчаткам, але як поділити 5 грн на трьох? Менеджер вирішив не ламати довго голову і віддав кожній дівчинці по 1 грн (отже, усього 3 грн), а 2 грн взяв собі. Отже, кожна дівчинка одержала назад по 1 грн, тобто замість 10 витратила 9 грн. 

    Нескладно порахувати, у скільки обійшлася дівчаткам книжка, - у 9*3=27 грн. Якщо до цих грошей додати ще 2 грн, які менеджер поклав собі у кишеню, отримаємо 29 грн. Куди зникла тридцята гривня?

Пояснення: ми рахуємо, скільки грошей було витрачено. Логічно буде сказати, що менеджер забрав у дівчат 2 грн. Оскільки 9*3=27, а книжка коштує 25 грн, не вистачає 2 грн. Тому додавати до 27 грн 2 грн просто некоректно.

Софізм "4 гнр. = 400 грн."

Кожний знає, що 2 грн. = 200 коп. Піднесемо обидві рівності до квадрату. Отримаємо: 4 грн. = 40 000 коп. = 400 грн. Де помилка?

Софізм "2*2 = 5"

Запишемо тотожність: 4:4 = 5:5. Винесемо з кожної частини тотожності спільні множники за дужки, одержуємо: 4*(1:1) = 5*(1:1) або (2*2)*(1:1) = 5*(1:1). Оскільки 1:1 = 1, то 2*2 = 5.

Софізм «Вага слона дорівнює вазі комара»

Нехай х – вага слона, у – вага комара. Позначимо їх суму через 2а: х+у=2а. З цієї рівності можна дістати ще дві: х-2а=-у і х=-у+2а. Перемножимо почленно останні дві рівності: х²-2ах=у²-2ау. Додавши до обох частин цієї рівності по а², дістанемо: х²-2ах+а²=у²-2ау+а²,або (х-а)²=(у-а)². Добуваючи з обох частин рівності квадратний корінь, матимемо: к-а=у-а, або х=у, тобто вага слона дорівнює вазі комара.